3.1163 \(\int \frac {\sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}{(c+d \tan (e+f x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=129 \[ -\frac {2 d \sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}{f \left (c^2+d^2\right ) \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}-\frac {i \sqrt {2} \sqrt {a} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2} \sqrt {a} \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c-i d} \sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}\right )}{f (c-i d)^{3/2}} \]

[Out]

-I*arctanh(2^(1/2)*a^(1/2)*(c+d*tan(f*x+e))^(1/2)/(c-I*d)^(1/2)/(a+I*a*tan(f*x+e))^(1/2))*2^(1/2)*a^(1/2)/(c-I
*d)^(3/2)/f-2*d*(a+I*a*tan(f*x+e))^(1/2)/(c^2+d^2)/f/(c+d*tan(f*x+e))^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.21, antiderivative size = 129, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 32, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.094, Rules used = {3548, 3544, 208} \[ -\frac {2 d \sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}{f \left (c^2+d^2\right ) \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}-\frac {i \sqrt {2} \sqrt {a} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2} \sqrt {a} \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c-i d} \sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}\right )}{f (c-i d)^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

((-I)*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f
*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f) - (2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 3544

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[
(-2*a*b)/f, Subst[Int[1/(a*c - b*d - 2*a^2*x^2), x], x, Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 3548

Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Si
mp[(d*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*m*(c^2 + d^2)), x] + Dist[a/(a*c - b*d), Int[(a
+ b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*
d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && EqQ[m + n + 1, 0] &&  !LtQ[m, -1]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}{(c+d \tan (e+f x))^{3/2}} \, dx &=-\frac {2 d \sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}{\left (c^2+d^2\right ) f \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}+\frac {\int \frac {\sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}{\sqrt {c+d \tan (e+f x)}} \, dx}{c-i d}\\ &=-\frac {2 d \sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}{\left (c^2+d^2\right ) f \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}+\frac {\left (2 a^2\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{a c-i a d-2 a^2 x^2} \, dx,x,\frac {\sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}\right )}{(i c+d) f}\\ &=-\frac {i \sqrt {2} \sqrt {a} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2} \sqrt {a} \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c-i d} \sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}\right )}{(c-i d)^{3/2} f}-\frac {2 d \sqrt {a+i a \tan (e+f x)}}{\left (c^2+d^2\right ) f \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 4.56, size = 337, normalized size = 2.61 \[ \frac {\sqrt {2} \sqrt {e^{i f x}} \sqrt {\frac {e^{i (e+f x)}}{1+e^{2 i (e+f x)}}} \sqrt {1+e^{2 i (e+f x)}} \sqrt {a+i a \tan (e+f x)} \left (-\frac {2 d \sqrt {1+e^{2 i (e+f x)}} \sqrt {c-\frac {i d \left (-1+e^{2 i (e+f x)}\right )}{1+e^{2 i (e+f x)}}}}{(c-i d) (c+i d) \left (c \left (1+e^{2 i (e+f x)}\right )-i d \left (-1+e^{2 i (e+f x)}\right )\right )}-\frac {i e^{-i (e+f x)} \log \left (2 \left (\sqrt {c-i d} e^{i (e+f x)}+\sqrt {1+e^{2 i (e+f x)}} \sqrt {c-\frac {i d \left (-1+e^{2 i (e+f x)}\right )}{1+e^{2 i (e+f x)}}}\right )\right )}{(c-i d)^{3/2}}\right )}{f \sqrt {\sec (e+f x)} \sqrt {\cos (f x)+i \sin (f x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(Sqrt[2]*Sqrt[E^(I*f*x)]*Sqrt[E^(I*(e + f*x))/(1 + E^((2*I)*(e + f*x)))]*Sqrt[1 + E^((2*I)*(e + f*x))]*((-2*d*
Sqrt[1 + E^((2*I)*(e + f*x))]*Sqrt[c - (I*d*(-1 + E^((2*I)*(e + f*x))))/(1 + E^((2*I)*(e + f*x)))])/((c - I*d)
*(c + I*d)*((-I)*d*(-1 + E^((2*I)*(e + f*x))) + c*(1 + E^((2*I)*(e + f*x))))) - (I*Log[2*(Sqrt[c - I*d]*E^(I*(
e + f*x)) + Sqrt[1 + E^((2*I)*(e + f*x))]*Sqrt[c - (I*d*(-1 + E^((2*I)*(e + f*x))))/(1 + E^((2*I)*(e + f*x)))]
)])/((c - I*d)^(3/2)*E^(I*(e + f*x))))*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[Sec[e + f*x]]*Sqrt[Cos[f*x] + I*Sin
[f*x]])

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.49, size = 598, normalized size = 4.64 \[ \frac {\sqrt {2} {\left (-4 i \, d e^{\left (3 i \, f x + 3 i \, e\right )} - 4 i \, d e^{\left (i \, f x + i \, e\right )}\right )} \sqrt {\frac {{\left (c - i \, d\right )} e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + c + i \, d}{e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + 1}} \sqrt {\frac {a}{e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + 1}} + {\left ({\left (i \, c^{3} + c^{2} d + i \, c d^{2} + d^{3}\right )} f e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + {\left (i \, c^{3} - c^{2} d + i \, c d^{2} - d^{3}\right )} f\right )} \sqrt {\frac {2 i \, a}{{\left (-i \, c^{3} - 3 \, c^{2} d + 3 i \, c d^{2} + d^{3}\right )} f^{2}}} \log \left ({\left ({\left (i \, c^{2} + 2 \, c d - i \, d^{2}\right )} f \sqrt {\frac {2 i \, a}{{\left (-i \, c^{3} - 3 \, c^{2} d + 3 i \, c d^{2} + d^{3}\right )} f^{2}}} e^{\left (i \, f x + i \, e\right )} + \sqrt {2} \sqrt {\frac {{\left (c - i \, d\right )} e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + c + i \, d}{e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + 1}} \sqrt {\frac {a}{e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + 1}} {\left (e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + 1\right )}\right )} e^{\left (-i \, f x - i \, e\right )}\right ) + {\left ({\left (-i \, c^{3} - c^{2} d - i \, c d^{2} - d^{3}\right )} f e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + {\left (-i \, c^{3} + c^{2} d - i \, c d^{2} + d^{3}\right )} f\right )} \sqrt {\frac {2 i \, a}{{\left (-i \, c^{3} - 3 \, c^{2} d + 3 i \, c d^{2} + d^{3}\right )} f^{2}}} \log \left ({\left ({\left (-i \, c^{2} - 2 \, c d + i \, d^{2}\right )} f \sqrt {\frac {2 i \, a}{{\left (-i \, c^{3} - 3 \, c^{2} d + 3 i \, c d^{2} + d^{3}\right )} f^{2}}} e^{\left (i \, f x + i \, e\right )} + \sqrt {2} \sqrt {\frac {{\left (c - i \, d\right )} e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + c + i \, d}{e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + 1}} \sqrt {\frac {a}{e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + 1}} {\left (e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + 1\right )}\right )} e^{\left (-i \, f x - i \, e\right )}\right )}{{\left (2 i \, c^{3} + 2 \, c^{2} d + 2 i \, c d^{2} + 2 \, d^{3}\right )} f e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + {\left (2 i \, c^{3} - 2 \, c^{2} d + 2 i \, c d^{2} - 2 \, d^{3}\right )} f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+I*a*tan(f*x+e))^(1/2)/(c+d*tan(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

(sqrt(2)*(-4*I*d*e^(3*I*f*x + 3*I*e) - 4*I*d*e^(I*f*x + I*e))*sqrt(((c - I*d)*e^(2*I*f*x + 2*I*e) + c + I*d)/(
e^(2*I*f*x + 2*I*e) + 1))*sqrt(a/(e^(2*I*f*x + 2*I*e) + 1)) + ((I*c^3 + c^2*d + I*c*d^2 + d^3)*f*e^(2*I*f*x +
2*I*e) + (I*c^3 - c^2*d + I*c*d^2 - d^3)*f)*sqrt(2*I*a/((-I*c^3 - 3*c^2*d + 3*I*c*d^2 + d^3)*f^2))*log(((I*c^2
+ 2*c*d - I*d^2)*f*sqrt(2*I*a/((-I*c^3 - 3*c^2*d + 3*I*c*d^2 + d^3)*f^2))*e^(I*f*x + I*e) + sqrt(2)*sqrt(((c
- I*d)*e^(2*I*f*x + 2*I*e) + c + I*d)/(e^(2*I*f*x + 2*I*e) + 1))*sqrt(a/(e^(2*I*f*x + 2*I*e) + 1))*(e^(2*I*f*x
+ 2*I*e) + 1))*e^(-I*f*x - I*e)) + ((-I*c^3 - c^2*d - I*c*d^2 - d^3)*f*e^(2*I*f*x + 2*I*e) + (-I*c^3 + c^2*d
- I*c*d^2 + d^3)*f)*sqrt(2*I*a/((-I*c^3 - 3*c^2*d + 3*I*c*d^2 + d^3)*f^2))*log(((-I*c^2 - 2*c*d + I*d^2)*f*sqr
t(2*I*a/((-I*c^3 - 3*c^2*d + 3*I*c*d^2 + d^3)*f^2))*e^(I*f*x + I*e) + sqrt(2)*sqrt(((c - I*d)*e^(2*I*f*x + 2*I
*e) + c + I*d)/(e^(2*I*f*x + 2*I*e) + 1))*sqrt(a/(e^(2*I*f*x + 2*I*e) + 1))*(e^(2*I*f*x + 2*I*e) + 1))*e^(-I*f
*x - I*e)))/((2*I*c^3 + 2*c^2*d + 2*I*c*d^2 + 2*d^3)*f*e^(2*I*f*x + 2*I*e) + (2*I*c^3 - 2*c^2*d + 2*I*c*d^2 -
2*d^3)*f)

________________________________________________________________________________________

giac [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+I*a*tan(f*x+e))^(1/2)/(c+d*tan(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.38, size = 1291, normalized size = 10.01 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+I*a*tan(f*x+e))^(1/2)/(c+d*tan(f*x+e))^(3/2),x)

[Out]

1/2/f*2^(1/2)*(a*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2)*(-2*2^(1/2)*tan(f*x+e)*d^2*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+
I*tan(f*x+e)))^(1/2)-2*I*ln((3*c*a+I*a*tan(f*x+e)*c-I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*2^(1/2)*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+
d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2))/(tan(f*x+e)+I))*tan(f*x+e)^2*a*c*d^2+2*I*2^(1/2)*tan(f*x+e)*c*d*(-a*(I*
d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2)-I*ln((3*c*a+I*a*tan(f*x+e)*c-I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*
2^(1/2)*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2))/(tan(f*x+e)+I))*tan(f*x+e)*a*c^2*d-I*l
n((3*c*a+I*a*tan(f*x+e)*c-I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*2^(1/2)*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x
+e)))^(1/2))/(tan(f*x+e)+I))*tan(f*x+e)*a*d^3-ln((3*c*a+I*a*tan(f*x+e)*c-I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*2^(1/2)*(-a*
(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2))/(tan(f*x+e)+I))*tan(f*x+e)^2*a*c^2*d+ln((3*c*a+I*a
*tan(f*x+e)*c-I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*2^(1/2)*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2))
/(tan(f*x+e)+I))*tan(f*x+e)^2*a*d^3+2*I*2^(1/2)*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2)
*d^2+I*ln((3*c*a+I*a*tan(f*x+e)*c-I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*2^(1/2)*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I
*tan(f*x+e)))^(1/2))/(tan(f*x+e)+I))*a*c^3-I*ln((3*c*a+I*a*tan(f*x+e)*c-I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*2^(1/2)*(-a*(
I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2))/(tan(f*x+e)+I))*a*c*d^2-ln((3*c*a+I*a*tan(f*x+e)*c-
I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*2^(1/2)*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2))/(tan(f*x+e)+I
))*tan(f*x+e)*a*c^3-ln((3*c*a+I*a*tan(f*x+e)*c-I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*2^(1/2)*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*tan
(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2))/(tan(f*x+e)+I))*tan(f*x+e)*a*c*d^2+2*2^(1/2)*c*d*(-a*(I*d-c))^(1/2)*(a*(c+d*
tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2)-2*ln((3*c*a+I*a*tan(f*x+e)*c-I*d*a+3*a*tan(f*x+e)*d+2*2^(1/2)*(-a*(I*d-c))
^(1/2)*(a*(c+d*tan(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2))/(tan(f*x+e)+I))*a*c^2*d)/(c+d*tan(f*x+e))^(1/2)/(a*(c+d*ta
n(f*x+e))*(1+I*tan(f*x+e)))^(1/2)/(c^2+d^2)/(I*c-d)/(-a*(I*d-c))^(1/2)/(-tan(f*x+e)+I)

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 2.01, size = 8482, normalized size = 65.75 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+I*a*tan(f*x+e))^(1/2)/(c+d*tan(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

-(((-8*I*sqrt(2)*c^2*d - 8*I*sqrt(2)*d^3)*cos(f*x + e) + 8*(sqrt(2)*c^2*d + sqrt(2)*d^3)*sin(f*x + e))*sqrt(a)
+ ((c^2 + d^2)*cos(2*f*x + 2*e)^2 + 4*c*d*sin(2*f*x + 2*e) + (c^2 + d^2)*sin(2*f*x + 2*e)^2 + c^2 + d^2 + 2*(
c^2 - d^2)*cos(2*f*x + 2*e))^(1/4)*((sqrt(c^2 + d^2)*((2*I*sqrt(2)*cos(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin
(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)) - 2*sqrt(2)*sin(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*
e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)))*arctan2((sqrt(c^2 + d^2)*d*cos(f*x
+ e) - sqrt(c^2 + d^2)*c*sin(f*x + e) + (c^2 + d^2)*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4
+ 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)
*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 -
(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e
)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d^2), -(sqrt(c^2 + d^2)*c*cos(f*x + e) + s
qrt(c^2 + d^2)*d*sin(f*x + e) - (c^2 + d^2)*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*
cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x
+ e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^
2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^
2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d^2)) + (sqrt(2)*cos(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e
) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)) + I*sqrt(2)*sin(1/2*arctan2(-d*cos(2
*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)))*log(((c^2 + d^2)*sqrt(((c
^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*
x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))*cos(1/2*arctan2
(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(
f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2)))^2 +
(c^2 + d^2)*sqrt(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) +
2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 +
d^2))*sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^
2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d
^2)/(c^2 + d^2)))^2 + (c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 - 2*(sqrt(c^2 + d^2)*c*cos(f*x +
e) + sqrt(c^2 + d^2)*d*sin(f*x + e))*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*
x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2
+ c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos
(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^
2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))) + 2*(sqrt(c^2 + d^2)*d*cos(f*x + e) - sqrt(c^2 + d^2)*c*sin(f*x +
e))*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^
2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*
sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^
2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c
^2 + d^2))))/(c^2 + d^2)))*sqrt(a) + ((-4*I*sqrt(2)*c*cos(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e)
+ d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)) + 4*sqrt(2)*c*sin(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(
2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)))*arctan2((sqrt(c^2 + d^2)*d*cos(f*x + e) - sqr
t(c^2 + d^2)*c*sin(f*x + e) + (c^2 + d^2)*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*co
s(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x +
e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)
*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2
- d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d^2), -(sqrt(c^2 + d^2)*c*cos(f*x + e) + sqrt(c^2 + d
^2)*d*sin(f*x + e) - (c^2 + d^2)*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e
)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^
2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x
+ e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*si
n(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d^2)) - 2*(sqrt(2)*c*cos(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*s
in(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)) + I*sqrt(2)*c*sin(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x
+ 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)))*log(((c^2 + d^2)*sqrt(((c^2 +
d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e
)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))*cos(1/2*arctan2(-2*(
c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x +
e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2)))^2 + (c^2
+ d^2)*sqrt(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c
^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))
*sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d
^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(
c^2 + d^2)))^2 + (c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 - 2*(sqrt(c^2 + d^2)*c*cos(f*x + e) +
sqrt(c^2 + d^2)*d*sin(f*x + e))*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e
)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^
2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x
+ e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*si
n(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))) + 2*(sqrt(c^2 + d^2)*d*cos(f*x + e) - sqrt(c^2 + d^2)*c*sin(f*x + e))*
(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*co
s(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*sin(1
/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (
4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 +
d^2))))/(c^2 + d^2)))*sqrt(a))*sqrt(2*c^2 + 2*d^2)*sqrt(c + sqrt(c^2 + d^2)) + (sqrt(c^2 + d^2)*(2*(sqrt(2)*co
s(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)) + I*
sqrt(2)*sin(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e)
+ c)))*arctan2((sqrt(c^2 + d^2)*d*cos(f*x + e) - sqrt(c^2 + d^2)*c*sin(f*x + e) + (c^2 + d^2)*(((c^2 + d^2)*co
s(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2
*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*sin(1/2*arctan2(-2*(c
*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x +
e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d
^2), -(sqrt(c^2 + d^2)*c*cos(f*x + e) + sqrt(c^2 + d^2)*d*sin(f*x + e) - (c^2 + d^2)*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e
)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 +
d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*
x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*
x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d^2)) + (-
I*sqrt(2)*cos(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e
) + c)) + sqrt(2)*sin(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f
*x + 2*e) + c)))*log(((c^2 + d^2)*sqrt(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*
x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2
+ c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x +
e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin
(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2)))^2 + (c^2 + d^2)*sqrt(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x
+ e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2
+ d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))*sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 -
(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e
)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2)))^2 + (c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 + (c^2 + d^2)*sin(f
*x + e)^2 - 2*(sqrt(c^2 + d^2)*c*cos(f*x + e) + sqrt(c^2 + d^2)*d*sin(f*x + e))*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 +
(c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*
cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e
)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e
) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))) + 2*(sqrt(c^2 + d^2)*d*
cos(f*x + e) - sqrt(c^2 + d^2)*c*sin(f*x + e))*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c
*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f
*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 -
d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 -
(c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d^2)))*sqrt(a) + (4*(sqrt(2)*c*cos(1/2*arctan2(-
d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)) + I*sqrt(2)*c*sin(1
/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)))*arctan
2((sqrt(c^2 + d^2)*d*cos(f*x + e) - sqrt(c^2 + d^2)*c*sin(f*x + e) + (c^2 + d^2)*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4
+ (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)
*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x +
e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x +
e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d^2), -(sqrt(c
^2 + d^2)*c*cos(f*x + e) + sqrt(c^2 + d^2)*d*sin(f*x + e) - (c^2 + d^2)*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 +
d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x
+ e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*
d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2
- d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d^2)) + (-2*I*sqrt(2)*c
*cos(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)) +
2*sqrt(2)*c*sin(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x +
2*e) + c)))*log(((c^2 + d^2)*sqrt(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e
)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^
2 + d^2)/(c^2 + d^2))*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*s
in(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x
+ e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2)))^2 + (c^2 + d^2)*sqrt(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^
4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2
)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))*sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2
- d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 -
(c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2)))^2 + (c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 + (c^2 + d^2)*sin(f*x +
e)^2 - 2*(sqrt(c^2 + d^2)*c*cos(f*x + e) + sqrt(c^2 + d^2)*d*sin(f*x + e))*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2
+ d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f
*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*cos(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 -
c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (
c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))) + 2*(sqrt(c^2 + d^2)*d*cos(f
*x + e) - sqrt(c^2 + d^2)*c*sin(f*x + e))*(((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^4 + (c^2 + d^2)*sin(f*x + e)^4 + 8*c*d*co
s(f*x + e)*sin(f*x + e) + 2*(c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 + 2*((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)^2 - c^2 + d^2)*sin(f*x +
e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))^(1/4)*sin(1/2*arctan2(-2*(c*d*cos(f*x + e)^2 - c*d*sin(f*x + e)^2 - (c^2 - d^2)
*cos(f*x + e)*sin(f*x + e))/(c^2 + d^2), (4*c*d*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (c^2 - d^2)*cos(f*x + e)^2 - (c^2
- d^2)*sin(f*x + e)^2 + c^2 + d^2)/(c^2 + d^2))))/(c^2 + d^2)))*sqrt(a))*sqrt(2*c^2 + 2*d^2)*sqrt(-c + sqrt(c^
2 + d^2))))/(((c^2 + d^2)*cos(2*f*x + 2*e)^2 + 4*c*d*sin(2*f*x + 2*e) + (c^2 + d^2)*sin(2*f*x + 2*e)^2 + c^2 +
d^2 + 2*(c^2 - d^2)*cos(2*f*x + 2*e))^(1/4)*((-4*I*c^4 - 8*I*c^2*d^2 - 4*I*d^4)*cos(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x
+ 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)) + 4*(c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*sin
(1/2*arctan2(-d*cos(2*f*x + 2*e) + c*sin(2*f*x + 2*e) + d, c*cos(2*f*x + 2*e) + d*sin(2*f*x + 2*e) + c)))*f)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int \frac {\sqrt {a+a\,\mathrm {tan}\left (e+f\,x\right )\,1{}\mathrm {i}}}{{\left (c+d\,\mathrm {tan}\left (e+f\,x\right )\right )}^{3/2}} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + a*tan(e + f*x)*1i)^(1/2)/(c + d*tan(e + f*x))^(3/2),x)

[Out]

int((a + a*tan(e + f*x)*1i)^(1/2)/(c + d*tan(e + f*x))^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\sqrt {i a \left (\tan {\left (e + f x \right )} - i\right )}}{\left (c + d \tan {\left (e + f x \right )}\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+I*a*tan(f*x+e))**(1/2)/(c+d*tan(f*x+e))**(3/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(I*a*(tan(e + f*x) - I))/(c + d*tan(e + f*x))**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________